피타고라스 정리의 증명 4가지 : 피타고라스의 증명, 바스카라의 증명, 유클리드의 증명, 가필드의 증명 feat. 히포크라테스의 초승달

중학교3학년 도형의 꽃은 피타고라스의 정리가 아닐까 합니다. 피타고라스 정리에 대해 알아보고 증명하는 4가지 방법에 대해 살펴보고자 합니다. 더불어 히포크라테스의 초승달 문제도 같이 살펴보겠습니다.

 

 

1. 피타고라스의 정리란

직각삼각형

직각삼각형 ABC에서 각 꼭짓점의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 빗변 c의 제곱은 나머지 두 변 a, b의 제곱의 합과 같다.

 

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

 

2. 피타고라스의 정리 증명

2-1. 피타고라스의 증명

피타고라스의 증명

가장 기본적인 증명입니다. 그림과 같이 a+b를 한편으로 하는 정사각형 ABCD를 만들기 위해 각 변의 길이가 a, b, c인 직각삼각형 네 개를 꼭짓점이 맞닿도록 배치합니다. 정사각형 ABCD의 넓이는 직각삼각형 4개의 넓이와 가운데 한 변의 길이가 c인 사각형 EFGH 넓이의 합과 같습니다. 수식으로 표현하면,

 

정사각형 ABCD의 넓이 = 정사각형 EFGH의 넓이 + 4개의 직각삼각형의 넓이

$(a+b)^{2}=c^{2}+4\times \frac{1}{2}ab$
$a^{2} +2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

 

 

2-2. 바스카라의 증명

바스카라의 증명

 

피타고라스의 증명과 마찬가지로 넓이를 이용한 증명입니다.  빗변을 c로 하는 정사각형 ABCD를 만들기 위해 각 변의 길이가 a, b, c인 직각삼각형 네 개를 안쪽으로 배치합니다. 그러면 안쪽에 변의 길이가 (a-b)인 작은 사각형 EFGH가 생깁니다. 작은 정사각형  EFGH의 넓이와 각 변의 길이가 a, b, c인 직각삼각형 네 개의 넓이를 합하면 변의 길이가 c인 정사각형 ABCD의 넓이와 같습니다. 이를 식으로 표현하면,

정사각형 EFGH의 넓이 + 직각삼각형 4개의 넓이 = 정사각형 ABCD의 넓이

$(a-b)^{2}+4\times \frac{1}{2}ab=c^{2}$
$a^{2}-2ab+b^{2}+2ab=c^{2}$
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

 

 

2-3. 유클리드의 증명

유클리드의 증명

 

유클리드의 증명 역시 넓이를 이용한 증명입니다.  각 변의 길이가 a, b, c인 직각 삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 각각 그릴 수 있습니다. 결론부터 말하자면 변의 길이가 a인 사각형 BCDF의 넓이와 변의 길이가 b인 사각형 CAHI 넓이의 합이 변의 길이가 c인 사각형 ABFG의 넓이가 같은데요, 유클리드의 증명은 삼각형의 합동에 대해 잘 알아야 증명할 수 있습니다. 차근차근해보겠습니다.

 

2-3-a. 유클리드 증명 1단계

삼각형 EBC와 삼각형 EBA는 밑변 EB는 같고 높이가 a로 같아 두 삼각형의 넓이는 같습니다.

유클리드 증명 1

 

2-3-b. 유클리드 증명 2단계

다시 삼각형 EBA와 삼각형 FBC는 변 EB와 변 CB사 길이 a로 같고, 변 BA와 변 BF가 길이 c로 같습니다. 또한 끼인각 EBA와 각 CBF가 같습니다. 즉,  삼각형 EBA와 삼각형 FBC는 두 편의 길이와 끼인각의 크기가 같아 서로 합동 (SAS합동)이며 넓이가 서로 같습니다.

 

유클리드 증명 2

 

2-3-c. 유클리드 증명 3단계

삼각형 FBC와 삼각형 FBJ는 밑변과 높이의 길이가 같으므로 두 삼각형의 넓이는 같습니다. 

 

유클리드 증명 3

2-3-d. 유클리드 증명 4단계

삼각형 EBC의 넓이와 삼각형 FBJ의 넓이는 같으므로 사각형 BCDE의 넓이와 사각형 BFKJ의 넓이는 $a^{2}$ 으로 같습니다.

유클리드 증명 4

 

2-3-e. 유클리드 증명 5단계

동일하게 오른쪽의 사각형 AHIC의 넓이와 AGKJ도 같습니다. 즉, 사각형 ABFG의 넓이는 사각형 BCDE의 넓이와 사각형 CAHI의 넓이의 합과 같습니다. 식으로 나타내면,

 

사각형 ABFG의 넓이=사각형 BCDE의 넓이 + 사각형 CAHI의 넓이
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

 

 

2-4. 가필드의 증명

가필드의 증명은 다음 그림과 같이 직각삼각형 두 개를 연결하여 A와 E점을 이어 사다리꼴을 만들고 그 넓이는 비교하는 것입니다.

가필드의 증명

여기서 각 BAC + 각 BCA는 90도 이므로 각 ACE도 90도입니다. 즉 삼각형 ACE는 직각이등변삼각형입니다.

사각형 ABDE의 넓이는 직각 삼각형 ABC의 넓이와 직각 삼각형 CBE의 넓이 그리고 직각 삼각형 ACE의 넓이의 합입니다.

이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

사각형 ABDE 넓이= 삼각형 ABC 넓이 + 삼각형 CBE 넓이 +삼각형 ACE 넓이

$\frac{1}{2}(a+b)^{2}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$
$\frac{1}{2}a^{2}+ab+\frac{1}{2}b^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$
$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}$
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

 

피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 10가지도 넘지만 자주 사용하는 네 가지 소개해보았습니다. 다음으로 직각삼각형과 피타고라스 정리를 이용하는 문제를 하나 살펴보겠습니다.

 

 

3. 히포크라테스의 초승달

히포크라테스의 초승달은 직사각형의 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원들 사이의 관계에 대한 것입니다. 하기는 길이가 각 a, b, c인 직각삼각형에 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원 P, Q, R입니다.

 

그림 1 직사각형과 반원

 

여기서 반원 R을 위로 올려서 보면 다음과 같습니다. 이때 그림의 색칠된 부분의 넓이를 구하면 어떻게 될까요??

 

그림 2히포크라테스의 초승달 문제

 

색칠된 부분의 넓이는 P1 + Q1 +삼각형 ABC의 넓이입니다.

P1+ Q1은 그림 1에서 반원 P의 넓이 + 반원 Q의 넓이 +삼각형 ABC의 넓이 - 반원 R의 넓이입니다. 식으로 구해야 하는 색칠된 부분의 넓이를 나타내보면 다음과 같습니다.

 

그림 2의 색칠된 부분의 넓이

= 반원 P의 넓이 + 반원 Q의 넓이 + 삼각형 ABC의 넓이 - 반원 R의 넓이 + 삼각형 ABC의 넓이

= 반원 P의 넓이 + 반원 Q의 넓이- 반원 R의 넓이 + 2 ×삼각형 ABC의 넓이

 

반원 P의 넓이=$\frac{1}{2} \pi \left ( \frac{1}{2}a \right )^{2}=\frac{1}{8}\pi a^{2}$

반원 Q의 넓이=$\frac{1}{2} \pi \left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}=\frac{1}{8}\pi b^{2}$

반원 R의 넓이=$\frac{1}{2} \pi \left ( \frac{1}{2}c \right )^{2}=\frac{1}{8}\pi c^{2}$

삼각형 ABC의 넓이=$\frac{1}{2} ab$

이므로,

 

$\frac{1}{8}\pi a^{2}$+$\frac{1}{8}\pi b^{2}$-$\frac{1}{8}\pi c^{2}$+$ab$

$= \frac{1}{8}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+ab$

$=ab $ 

만일 a의 길이가 3이고 b의 길이가 4라면 정답은 12네요.

 

여기서 알 수 있는 몇 가지 사실을 정리해 봅니다.

반원 P의 넓이 + 반원 Q의 넓이 = 반원 R의 넓이입니다. (피타고라스의 정리활용)

P1+Q1 = P+Q-R+삼각형 ABC 가 되고,

그림 2의 P1+Q1의 넓이 = 삼각형 ABC의 넓이입니다. 식으로 나타내보면,

P1+Q1의 넓이 = $\frac {1}{2} ab$ 입니다.

 

 

천천히 그려보면서 증명해 보시기 바랍니다.